已知橢圓的離心率為,其長軸長與短軸長的和等于6.

(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,設(shè)橢圓的上、下頂點分別為是橢圓上異于的任意一點,直線分別交軸于點,若直線與過點的圓相切,切點為.證明:線段的長為定值.
(1);(2)定值為2,證明見解析.

試題分析:(1)根據(jù)橢圓的離心率、長軸與短軸的關(guān)系建立的方程可求得橢圓的方程;;(2)設(shè),然后用此點坐標分別表示出、的方程,然后根據(jù)直線與圓相切性質(zhì)、平面幾何知識化的關(guān)系,進而確定其為定值.
試題解析:(1)由題意可得,得  ①.
,即   ②,
解①②,得,
∴橢圓的方程為
(2)由(1)知,設(shè),則
直線的方程為,令,得
直線的方程為,令,得
設(shè),則

,

,即,
,∴,即線段的長為定值2.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓C:的左頂點為A,M是橢圓C上異于點A的任意一點,點P與點A關(guān)于點M對稱.

(1)若點P的坐標,求m的值;
(2)若橢圓C上存在點M,使得,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓 (a>b>0)的上、下頂點分別為A、B,已知點B在直線l:上,且橢圓的離心率e =

(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點,PQ⊥y軸,Q為垂足,M為線段PQ中點,直線AM交直線l于點C,N為線段BC的中點,求證:OM⊥MN.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點分別、,點是橢圓短軸的一個端點,且焦距為6,的周長為16.
(I)求橢圓的方程;
(2)求過點且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點坐標.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知點是離心率為的橢圓上的一點,斜率為的直線交橢圓,兩點,且、、三點互不重合.

(1)求橢圓的方程;(2)求證:直線的斜率之和為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,點為橢圓右焦點,圓與橢圓的一個公共點為,且直線與圓相切與點。

(1)求的值及橢圓的標準方程;
(2)設(shè)動點滿足,其中是橢圓上的點,為原點,直線的斜率之積為,求證:為定值。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

橢圓M:的左,右焦點分別為,P為橢圓M上任一點,且的最大值的取值范圍是,其中,則橢圓M的離心率e的取值范圍是________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓的左焦點為與過原點的直線相交于兩點,連接,若,則橢圓的離心率
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知離心率為的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點、,是兩曲線的一個公共點,若,則等于(     )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案