Question

【題目】甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對(duì)的概率是 ，乙每輪猜對(duì)的概率是 ；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：
（1）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；
（2）“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

【答案】
（1）

解：“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)包含“甲猜對(duì)1個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)”，“甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)1個(gè)”，“甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)”三個(gè)基本事件，故概率P= + = + + =

（2）

解：“星隊(duì)”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，

則P（X=0）= = ，

P（X=1）=2×[ + ]= ，

P（X=2）= + + + = ，

P（X=3）=2× = ，

P（X=4）=2×[ + ]=

P（X=6）= =

故X的分布列如下圖所示：

X	0	1	2	3	4	6
P

∴數(shù)學(xué)期望EX=0× +1× +2× +3× +4× +6× = =

【解析】
（I）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)包含“甲猜對(duì)1個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)”，“甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)1個(gè)”，“甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)”三個(gè)基本事件，可得答案；
（II）由已知可得：“星隊(duì)”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，進(jìn)而得到X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬中檔題．
【考點(diǎn)精析】利用離散型隨機(jī)變量及其分布列對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．