【題目】已知橢圓C: 的離心率 ,且過點Q
(1)求橢圓C的方程.
(2)橢圓C長軸兩端點分別為A,B,點P為橢圓上異于A,B的動點,定直線x=4與直線PA,PB分別交于M,N兩點,直線PA,PB的斜率分別為k1 , k2①證明 ;
②若E(7,0),過E,M,N三點的圓是否過x軸上不同于點E的定點?若經(jīng)過,求出定點坐標;若不經(jīng)過,請說明理由.

【答案】
(1)解:橢圓C: 焦點在x軸上,由e= = ,即a=2c,

則b2=a2﹣c2=3c2,

由橢圓過點Q ,代入 ,解得:c=1,

∴a=2,b= ,

∴橢圓的標準方程:


(2)解:①證明:由(1)得A(﹣2,0),B(2,0),設(shè)P(x,y),

,

②設(shè)PA,PB的斜率分別為k1,k2,P(x0,y0),則k1k2=﹣ ,

可令PA:y=k1(x+2),則M(4,6k1),

PB:y=k2(x﹣2),則N(4,2k2),

又kEM=﹣ =﹣2k1,kEN=﹣ ,

∴kEMkEN=﹣1,

設(shè)圓過定點F(m,0),則 =﹣1,解得m=1或m=7(舍),

故過點E,M,N三點的圓是以MN為直徑的圓,過x軸上不同于點E的定點F(1,0)


【解析】(1)由題意可知:e= = ,即a=2c,b2=a2﹣c2=3c2 , 將Q 代入橢圓方程,即可求得c的值,則求得a和b的值,即可求得橢圓C的方程;(2)①由(1)得A(﹣2,0),B(2,0),設(shè)P(x,y),由直線的斜率公式可知:則 ,②令PA:y=k1(x+2),則M(4,6k1),同理求得N(4,2k2),kEM=﹣ =﹣2k1 , kEN=﹣ , =﹣1,即可求得m=1,故過點E,M,N三點的圓是以MN為直徑的圓,過x軸上不同于點E的定點F(1,0).

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