Question

定義：若{y|y=f（x），x∈A}=A，則f（x）稱為A上的一階回歸函數(shù)；
若{y|y=f（f（x）），x∈A}=A，則f（x）稱為A上的二階回歸函數(shù)；
若{y|y=f（f（f（x））），x∈A}=A，則f（x）稱為A上的三階回歸函數(shù)．
下列判斷正確的個數(shù)是（　�。�
①f（x）=3-x是[1，2]上的一階回歸函數(shù)；
②f(x)=1-(

1

2

)x是[-1，0]上的一階回歸函數(shù)
③f(x)=

-2

x

是（0，+∞）上的二階回歸函數(shù)；
④f(x)=

1

1-x

是（2，+∞）上的三階回歸函數(shù)．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據一階回歸函數(shù)的概念，分別判斷f（x）=3-x在[1，2]上和f(x)=1-(

1

2

)x在[-1，0]上，是否滿足定義可判斷①②的真假；根據二階回歸函數(shù)的概念，判斷f(x)=

-2

x

在（0，+∞）上是否滿足定義可判斷③的真假；根據三階回歸函數(shù)的概念，判斷f(x)=

1

1-x

在（2，+∞）上是否滿足定義可判斷④的真假；

解答：解：∵f（x）=3-x在[1，2]上單調遞減，∴當x=1時，f（x）取最大值2，當x=2時，f（x）取最小值1，
即{y|y=f（x）=3-x，x∈[1，2]}=[1，2]，故①中函數(shù)是一階回歸函數(shù)，故①正確；
∵f(x)=1-(

1

2

)x在[-1，0]上單調遞增，∴當x=-1時，f（x）取最小值-1，當x=0時，f（x）取最大值0，
即{y|y=f(x)=1-(

1

2

)x，x∈[-1，0]}=[-1，0]，故②中函數(shù)是一階回歸函數(shù)，故②正確；
∵f(x)=

-2

x

，∴x∈（0，+∞）時，y=f（f（x））=

-2

-2 x

=x∈（0，+∞），即③中函數(shù)是二階回歸函數(shù)，故③正確；
∵f(x)=

1

1-x

，∴x∈（2，+∞）時，y=f（f（f（x）））=

1

1-f(f(x))

=

1

1- 1 1-f(x)

=

1

1- 1 1- 1 1-x

=

1

1- 1 1-x-1 1-x

=

1

1+ 1-x x

=

1

x+1-x x

=x∈（2，+∞），即④中函數(shù)是三階回歸函數(shù)，故④正確；
故選D

點評：X本題又命題的真假判斷為載體，考查了基本函數(shù)的定義域，值域，單調性，其中正確理解新定義，是解答的關鍵．