Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（m∈Z），則稱m為離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的五個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?span id="xdhmva8" class="MathJye">[0，

1

2

]；
②函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
③函數(shù)y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對(duì)稱；
⑤函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（k，0）（k∈Z）對(duì)稱．
其中正確的命題有（　　）個(gè)．

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：本題為新定義問(wèn)題，因?yàn)閙為整數(shù)，故可取m為幾個(gè)特殊的整數(shù)進(jìn)行研究，從而可得函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象即可求得結(jié)論．

解答：解：由題意x-{x}=x-m，f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0時(shí)，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，
m=1時(shí)，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2時(shí)，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由圖象可知正確命題為①②④，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義問(wèn)題，考查函數(shù)的性質(zhì)，可結(jié)合圖象進(jìn)行研究，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)的圖象．