Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長是短軸長的

3

倍，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它的左，右焦點．
（1）若P∈C，且

PF1

•

PF

2=0，|PF₁|•|PF₂|=4，求F₁、F₂的坐標；
（2）在（1）的條件下，過動點Q作以F₂為圓心、以1為半徑的圓的切線QM（M是切點），且使|QF_|=

2

|QM|，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）依題意知a=

3

b，由

PF1

•

PF2

=0，知|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=4（a²-b²）=8b²，由橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²，由此能求出F₁、F₂的坐標．
（2）由|QF1| =

2

|QM|，知|QF₁|²=2|QM|²，由QM是⊙F₂的切線，知|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）．設Q（x，y），則（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]．由此能求出動點Q的軌跡方程．

解答：解：（1）依題意知a=

3

b①（1分）
∵

PF1

•

PF2

=0∴PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=4（a²-b²）=8b²（3分）
又P∈C，由橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，
（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²②（5分）
由①②得a²=6，b²=2?c=2．
∴F₁（-2，0）、F₂（2，0）（7分）
（2）由已知|QF_|=

2

|QM|，
即|QF₁|²=2|QM|²（9分）
∵QM是⊙F₂的切線，
∴|QM|²=|QF₂|²-1
∴|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）（11分）
設Q（x，y），
則（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]
即（x-6）²+y²=34（或x²+y²-12x+2=0）（13分）
綜上所述，所求動點Q的軌跡方程為：（x-6）²+y²=34（14分）

點評：本題考查焦點坐標和軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．