【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+b圖象上的點(diǎn)P(2,1)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)Q在函數(shù)g(x)=lnx+a上.
(Ⅰ)求函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)的最大值;
(Ⅱ)對(duì)任意x1∈[1,e],x2∈,是否存在實(shí)數(shù)k,使得不等式成立,若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意得方程組,解得a,b的值,設(shè)h(x)=g(x)﹣f(x)=lnx﹣x2+5,通過(guò)求導(dǎo)得出h(x)在(,+∞)遞減,在(0, )遞增;從而求出函數(shù)h(x)的最大值.
(Ⅱ)設(shè)G(x)=2k[g(x)﹣2]+f(x)+3=2klnx+x2,通過(guò)討論①k≥0,②0<,③1<≤e,④>e的情況,從而求出k的范圍.
試題解析:
(Ⅰ)點(diǎn)P(2,1)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)Q(1,2),
∴,解得,
設(shè)h(x)=g(x)-f(x)=lnx-x2+5,
h′(x)=-2x
=-=-,
∵x∈(0,+∞),
∴當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),h′(x)<0;當(dāng)x∈(0,)時(shí),h′(x)>0,
∴h(x)在(,+∞)上單調(diào)遞減;在(0,)上單調(diào)遞增,
∴h(x)max=h()=-ln2,
(Ⅱ)設(shè)T(x)=ln=2lnx,
∵ T′(x)=,當(dāng)x∈[,e2]時(shí),T′(x)>0,即單調(diào)遞增,
∴在[,e2]上T(x)min=T()=lne=1,
設(shè)G(x)=2k+f(x)+3=2klnx+x2,
G′(x)=+2x=,
①當(dāng)k≥0時(shí),在[1,e]上G′(x)>0,即單調(diào)遞增,即G(x)max=G(e)=2k+e2,
依題得2k+e2≤1,∴k≤,
又∵k≥0,∴k無(wú)解;
②當(dāng)0<≤1,即-1≤k<0時(shí),
在[1,e]上G′(x)>0,即單調(diào)遞增,
G(x)max=G(e)=2k+e2 ,
依題得2k+e2≤1,∴k≤,
又∵-1≤k<0,∴k無(wú)解;
③當(dāng)1<≤e,即-e2≤k<-1時(shí),
在[1,]上G′(x)<0,即單調(diào)遞減;
在[,e]上 G′(x)>0,即單調(diào)遞增,
又∵G(e)=2k+e2,G(1)=1,
當(dāng)G(e)≤G(1),即k≤時(shí),G(x)max=G(1)=1,顯然1≤1成立;
∵-e2<<-1,∴-e2≤k≤;
當(dāng)G(e)>G(1),即k>時(shí),G(x)max=G(e)=2k+e2,
由2k+e2≤1得k≤,∴k無(wú)解;
④當(dāng)>e,即k<-e2時(shí),在[1,e]上G′(x)<0,即單調(diào)遞減,G(x)max=G(1)=1,顯然1≤1成立,
綜上,實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)己知函數(shù)f(x)=
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)求證:當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)>2
(3)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)>k對(duì)x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1 ,在△ABC中,AB=BC=2, ∠B=90°,D為BC邊上一點(diǎn),以邊AC為對(duì)角線做平行四邊形ADCE,沿AC將△ACE折起,使得平面ACE ⊥平面ABC,如圖2.
(1)在圖 2中,設(shè)M為AC的中點(diǎn),求證:BM丄AE;
(2)在圖2中,當(dāng)DE最小時(shí),求二面角A -DE-C的平面角.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為米圓心角為(弧度)的扇形景觀水池,其中為扇形的圓心,同時(shí)緊貼水池周邊建一圈理想的無(wú)寬度步道,要求總預(yù)算費(fèi)用不超過(guò)萬(wàn)元,水池造價(jià)為每平方米元,步道造價(jià)為每米元.
(1)當(dāng)和分別為多少時(shí),可使廣場(chǎng)面積最大,并求出最大值;
(2)若要求步道長(zhǎng)為米,則可設(shè)計(jì)出水池最大面積是多少.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P滿足.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過(guò)定點(diǎn)M(0,-2)的直線l與曲線C有公共點(diǎn),求直線l的斜率k的取值范圍;
(3)若動(dòng)點(diǎn)Q(x,y)在曲線C上,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng),點(diǎn)B恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn).設(shè)頂點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程是y=f(x),則對(duì)函數(shù)y=f(x)有下列判斷:
①若-2≤x≤2,則函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù);
②對(duì)任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);
③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減;
④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù).
其中判斷正確的序號(hào)是________.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知向量,n=(c,b-2a),且m·n=0.
(1)求角C的大。
(2)若點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn),且滿足, , ,求△ABC的面積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017·合肥市質(zhì)檢)已知點(diǎn)F為橢圓E: (a>b>0)的左焦點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,直線與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)直線與y軸交于P,過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,若λ|PM|2=|PA|·|PB|,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中, , , , 分別是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com