Question

【題目】如圖,四棱錐中,平面,, .,,,是的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:⊥平面;

(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;

(Ⅲ)若,在線段上是否存在一點(diǎn),使得⊥. 若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) . (Ⅲ)不存在，見解析

【解析】

（I）通過證明，證得平面.

（II）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的余弦值列方程，解方程求得的值.

（III）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用列方程，推出矛盾，由此判斷滿足條件的點(diǎn)不存在.

(Ⅰ)證明:因為 平面,,

所以 平面.

又因為 平面,所以 . 在中,,是的中點(diǎn),

所以 .

又因為 ,所以 平面.

(Ⅱ)解:因為 平面,

所以,.

又因為 ,

所以 如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

則,,,,

,,

,.

設(shè)平面的法向量為.

則

即 令,則,,

于是.

因為平面,所以. 又,

所以平面.

又因為,

所以 取平面的法向量為.

所以 ,

即,解得.

又因為,所以.

(Ⅲ)結(jié)論:不存在.理由如下:

證明:設(shè).

當(dāng)時,.

,.

由知,,,.這與矛盾.

所以,在線段上不存在點(diǎn),使得.