已知直線l過點(diǎn)P(1,1),并與直線l1:x-y+3=0和l2:2x+y-6=0分別交于點(diǎn)A、B,若線段AB被點(diǎn)P平分.
求:
(1)直線l的方程;
(2)以O(shè)為圓心且被l截得的弦長為
8
5
5
的圓的方程.
分析:(1)依題意可設(shè)A(m,n)、B(2-m,2-n),分別代入直線l1 和l2的方程,求出m=-1,n=2,用兩點(diǎn)式求直線的方程.
(2)先求出圓心(0,0)到直線l的距離d,設(shè)圓的半徑為R,則由R2=d2+(
4
5
5
)2
,求得R的值,即可求出圓的方程.
解答:解:(1)依題意可設(shè)A(m,n)、B(2-m,2-n),則
m-n+3=0
2(2-m)+(2-n)-6=0
,即
m-n=-3
2m+n=0
,解得m=-1,n=2.
即A(-1,2),又l過點(diǎn)P(1,1),用兩點(diǎn)式求得AB方程為
y-1
2-1
=
x-1
-1-1
,即:x+2y-3=0.
(2)圓心(0,0)到直線l的距離d=
|0+0-3|
1+4
=
3
5
,設(shè)圓的半徑為R,則由 R2=d2+(
4
5
5
)2
,
求得R2=5,故所求圓的方程為x2+y2=5.
點(diǎn)評:本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì),點(diǎn)到直線的距離公式,弦長公式的應(yīng)用,用兩點(diǎn)式求直線的方程,屬于中檔題.
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