【題目】如圖,已知四棱錐,底面為菱形, 平面 , 分別是的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明: ;

(Ⅱ)若上的動(dòng)點(diǎn), 與平面所成最大角的正切值為,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:(Ⅰ)由條件,可證菱形中, ,再由線面垂直可得線線垂直得出,進(jìn)一步得出平面,再由線面垂直的性質(zhì),可證線線垂直 (Ⅱ)由所給條件,建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系,寫出空間各點(diǎn)坐標(biāo),求出二面角的二面的法向量,由法向量的夾角與二面角之間的關(guān)系求出其余弦值.

試題解析:(Ⅰ)證明:由四邊形為菱形, ,可得為正三角形.

因?yàn)?/span>的中點(diǎn),所以

,因此

因?yàn)?/span>平面, 平面,所以

平面 平面,

所以平面.又平面,所以

(Ⅱ)解:設(shè), 上任意一點(diǎn),連接

由(Ⅰ)知平面, 與平面所成的角.

中, ,所以當(dāng)最短時(shí), 最大,

即當(dāng)時(shí), 最大.此時(shí),

因此.又,所以,所以

方法1:因?yàn)?/span>平面, 平面,

所以平面平面.過,由面面垂直的性質(zhì)定理,

平面,過,連,則,此時(shí)平面

顯然,則為二面角的平面角,

中,∵,∴, ,

中,∵,又的中點(diǎn),∴

因此在中, ,又,

中, ,即所求二面角的余弦值為

方法2:由(Ⅰ)知兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

分別為的中點(diǎn),所以, ,所以

設(shè)平面的一法向量為,則 因此

,則,因?yàn)?/span>, , ,所以平面,

為平面的一法向量.又,所以.因?yàn)槎娼?/span>為銳角,所以所求二面角的余弦值為

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