【題目】在雙曲線的右支上存在點,使得點與雙曲線的左、右焦點,形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為,若的重心滿足,則雙曲線的離心率為__________.
【答案】2
【解析】
設(shè),,,運用三角形的重心坐標(biāo),求得內(nèi)心的坐標(biāo),可得,再結(jié)合雙曲線的定義和等積法,求得,再由雙曲線的離心率公式和第二定義,可得,將的坐標(biāo)代入雙曲線的方程,運用,,的關(guān)系和離心率公式,即可得到所求離心率.
設(shè),,,
可得重心,即,
設(shè)△的內(nèi)切圓與邊的切點,與邊的切點為,與邊上的切點為,
則△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)相同.
由雙曲線的定義,.①
由圓的切線性質(zhì),
,,,即有。
由,
則△的重心為,,即,
由△的面積為,
可得.②
由①②可得,
由右準線方程,雙曲線的第二定義可得:
,解得,
即有,代入雙曲線的方程可得,可得,
可得雙曲線的離心率為.
故答案為:.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求時,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個零點,求正整數(shù)的最小值
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【題目】已知函數(shù)定義在區(qū)間上,,且當(dāng)時,恒有,又數(shù)列滿足,,設(shè),對于任意的,的最小自然數(shù)的值為_______________________________.
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【題目】如圖,菱形的邊長為,,與交于點.將菱形沿對角線折起,得到三棱錐,點是棱的中點,.
(I)求證:平面⊥平面;
(II)求二面角的余弦值.
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【題目】大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十“的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項是序號平方再除以2,奇數(shù)項是序號平方減1再除以2,其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項而設(shè)計的,那么在兩個判斷框中,可以先后填入( )
A. 是偶數(shù)?,? B. 是奇數(shù)?,?
C. 是偶數(shù)?, ? D. 是奇數(shù)?,?
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【題目】若數(shù)列,滿足,則稱為數(shù)列的“偏差數(shù)列”.
(1)若為常數(shù)列,且為的“偏差數(shù)列”,試判斷是否一定為等差數(shù)列,并說明理由;
(2)若無窮數(shù)列是各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列,且,為數(shù)列的“偏差數(shù)列”,求的值;
(3)設(shè),為數(shù)列的“偏差數(shù)列”,,且若對任意恒成立,求實數(shù)的最小值.
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【題目】對于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實數(shù),滿足,則稱為“類函數(shù)”.
(1)已知函數(shù),試判斷是否為“類函數(shù)”?并說明理由;
(2)設(shè)是定義域上的“類函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若為其定義域上的“類函數(shù)”,求實數(shù)取值范圍.
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【題目】如圖所示,為了測量A、B處島嶼的距離,小海在D處觀測,A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛20海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西45°方向,則A、B兩島嶼的距高為___________海里.
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【題目】已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(2)若,關(guān)于的方程有且僅有一個根, 求實數(shù)的取值范圍;
(3)若對任意,不等式均成立, 求實數(shù)的取值范圍.
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