Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓C上有兩個不同的點(diǎn)關(guān)于直線l對稱．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：第一步：設(shè)橢圓上關(guān)于直線l對稱的兩點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀）；
第二步：將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，由點(diǎn)差法得AB的斜率k_AB與中點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀）的關(guān)系式，又由l⊥AB，得x₀與y₀的關(guān)系；
第三步：將坐標(biāo)（x₀，y₀） 代入l的方程中，得x₀與y₀的另一個關(guān)系；
第四步：由第二、三步的兩個關(guān)系式，可將x₀，y₀用m表示；
第五步：將x₀，y₀代入橢圓方程的左邊，根據(jù)M在橢圓內(nèi)部，得到關(guān)于m的不等式，解此不等式即可．

解答： 解：設(shè)橢圓上關(guān)于直線l對稱的兩點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則由

x 2 1 4 + y 2 1 3 =1 x 2 2 4 + y 2 2 3 =1

，兩式相減得

x 2 1 - x 2 2

4

+

y 2 1 - y 2 2

3

=0，
即

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
又由直線AB的斜率kAB=

y1-y2

x1-x2

，以及中點(diǎn)公式

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

，
得

x0

4

+

y0

3

•kAB=0，即kAB=-

3x0

4y0

，又由l⊥AB，得kAB=-

1

4

，
∴-

3x0

4y0

=-

1

4

，即y=3x．…①
∵點(diǎn)M在直線l上，∴y₀=4x₀+m．…②
聯(lián)立①、②，得

x0=-m y0=-3m

，即M（-m，-3m），
根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部，得

(-m)2

4

+

(-3m)2

3

＜1，
解得-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與橢圓的相交關(guān)系，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性，參數(shù)范圍的求解等，關(guān)鍵是通過消參，找到參數(shù)m與中點(diǎn)坐標(biāo)x₀，y₀的關(guān)系，處理參數(shù)范圍問題的一般步驟是：
1、設(shè)參；
2、建立等量關(guān)系，并消去多余參數(shù)；
3、尋找不等關(guān)系，解不等式．