Question

設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M在雙曲線C上，且|MF₁|-|MF₂|=2

2

，已知雙曲線C的離心率為

2

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)P向圓E：x²+（y-4）²=1作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求

PA

•

PB

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,向量在幾何中的應(yīng)用

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)條件由雙曲線定義知a=

2

，e=

c

a

=

2

，由此能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）連AE，由題意知AE⊥AP，且|AE|=1．設(shè)|PE|=t，∠APB=2θ，則|PA|=|PB|=

t2-1

，sinθ=

|AE|

|PE|

=

1

t

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和圓的知識(shí)能求出

PA

•

PB

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
點(diǎn)M在雙曲線C上，且|MF₁|-|MF₂|=2

2

，
∴由雙曲線定義知：a=

2

，
∵雙曲線C的離心率為

2

，∴e=

c

a

=

2

，
解得c=2，∴b2=22-(

2

)2=2，
∴雙曲線C的方程是

x2

2

-

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）連AE，則AE⊥AP，且|AE|=1．
設(shè)|PE|=t，∠APB=2θ，
則|PA|=|PB|=

t2-1

，sinθ=

|AE|

|PE|

=

1

t

．…（6分）
∴

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|cos2θ
=（t²-1）（1-2sin 2 θ）
=（t²-1）（1-

2

t2

）
=t2+

2

t2

-3．…（8分）
設(shè)點(diǎn)P（x，y），則x²-y²=2．又圓心E（0，4），
則t²=|PE|²=x²+（y-4）²
=（y²+2）+（y-4）²
=2y²-8y+18
=2（y-2）²+10≥10，…（10分）
設(shè)f（t）=t2+

2

t2

-3，則當(dāng)t≥

10

時(shí)，f′(t)=2t-

4

t3

=

2(t4-2)

t3

＞0，
∴f（t）在[

10

，+∞）上是增函數(shù)，
∴f(t)min=f(

10

)=

36

5

，
∴

PA

•

PB

的最小值為

36

5

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查雙曲線方程和數(shù)量積最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的定義和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．