Question

(本題滿分14分)在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)北偏東且與點(diǎn)相距海里的位置，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)北偏東+(其中

sin=，)且與點(diǎn)相距海里的位置C.

（Ⅰ）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；

（Ⅱ）該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域；若進(jìn)入請(qǐng)求出經(jīng)過(guò)警戒水域的時(shí)間，并說(shuō)明理由.

南安一中2010-2011學(xué)年高一年（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷

Answer 1

解：（I）如圖，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=             …………………………2分

由余弦定理得BC=       …………………………4分

所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）                …………………………6分

（II）解法一 如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.

由題設(shè)有，x₁=y₁= AB=40,          

x₂=ACcos,

y₂=ACsin

所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40. …………………………9分

又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=

故該船會(huì)進(jìn)入警戒水域.                                       …………………………12分

進(jìn)入警戒水域所行駛的路程為海里            …………………………13分

小時(shí)，所以經(jīng)過(guò)警戒水域的時(shí)間為小時(shí).    …………………………14分

解法二:  如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.    …………………8分

從而

在中，由正弦定理得，

AQ=……………………10分

由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.

過(guò)點(diǎn)E作EP BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.

在Rt中，

PE=QE·sin= ………12分

故該船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

進(jìn)入警戒水域所行駛的路程為海里             …………………………13分

小時(shí)，所以經(jīng)過(guò)警戒水域的時(shí)間為小時(shí).      …………………………14分