已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設向量
m
=（a，b），
n
=（sinB，sinA），
p
=（b-2，a-2）．
（1）若
m
∥
n
，試判斷△ABC的形狀并證明；
（2）若
m
⊥
p
，邊長c=2，∠C=
π
3
，求△ABC的面積．
分析：（1）由
m
∥
n
可得asinA=bsinB，再利用正弦定理即可證明結(jié)論；
（2）由
m
⊥
p
可得a+b=ab，再利用余弦定理可得到（ab）2-3ab-4=0，解此方程即可求得ab的值，從而可求得△ABC的面積．
解答：解：（1）ABC為等腰三角形；
證明：∵
m
=（a，b），
n
=（sinB，sinA），
m
∥
n
，
∴asinA=bsinB，
即a•
a
2R
=b•
b
2R
，其中R是△ABC外接圓半徑，
∴a=b--------（5分）
∴△ABC為等腰三角形--------（6分）
（2）∵
p
=（b-2，a-2），由題意可知
m
⊥
p
，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab--------（8分）
由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab
即（ab）2-3ab-4=0，
∴ab=4或ab=-1（舍去）---------（10分）
∴S=
1
2
absinC=
1
2
×4×sin
π
3
=
3
．----------（12分）
點評：本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理與余弦定理的綜合應用，考查解方程的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量
m
=(a，b)，
n
=(sinB，sinA)，
p
=(b-2，a-2)．
（1）若
m
∥
n
，求證：△ABC為等腰三角形；
（2）若
m
⊥
p
，邊長c=2，角C=
π
3
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=（
3
sin2x-1，cosx），n=（
1
2
，cosx），設函數(shù)f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在[0，
π
2
]上的最大值；
（2）已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A、B為銳角，f（A+
π
6
）=
3
5
，f（
B
2
-
π
12
）=
10
10
，又a+b=
2
+1，求a、b、c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的角A，B，C所對的邊a，b，c，且acosC+
12
c=b．
（1）求角A的大��；
（2）若a=1，求b+c的最大值并判斷這時三角形的形狀．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的角A，B，C的對邊依次為a，b，c，若滿足
3
tanA•tanB-tanA-tanB=
3
，
（Ⅰ）求∠C大��；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC為銳角三角形，求a2+b2取值范圍．

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