Question

已知△ABC的角A，B，C所對的邊a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大��；
（2）若a=1，求b+c的最大值并判斷這時三角形的形狀．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，化簡可得

1

2

sinC=cosAsinC，所以

1

2

=cosA，求得A的值．
（2）由余弦定理、基本不式可得（b+c）²≤4，可得b+c的最大值為2，當且僅當a=b=c=1時有最大值，由此可得三角形的形狀．

解答：解：（1）由正弦定理得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，所以sinAcosC+

1

2

sinC=sin(A+C)，
化簡可得

1

2

sinC=cosAsinC，所以

1

2

=cosA，求得A=

π

3

．…（6分）
（2）由余弦定理得1=b2+c2-2bc×

1

2

=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3(

b+c

2

)2，
所以（b+c）²≤4，所以b+c的最大值為2，當且僅當a=b=c=1時有最大值，
這時△ABC為正三角形．…（12分）．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．