Question

如圖，△ABC是形狀為正三角形的一塊地，為了綠化需要現(xiàn)在線段AB上取一點(diǎn)P，在AC上取一點(diǎn)Q，用直線段或折線段或曲線段連接PQ，將△ABC分為面積相等的兩塊地，分別種上兩種花草．
（1）如果用直線段連接PQ，那么當(dāng)P、Q處于什么位置時(shí)，線段PQ的長度最��？
（2）請你設(shè)計(jì)連接PQ的一種方式，使得連接PQ的長度比（1）中計(jì)算的長度更�。�

Answer 1

解：（1）設(shè)AP=a，AQ=b，正三角形的邊長為c，則
∵PQ將△ABC分為面積相等的兩塊地
∴
∴
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，PQ取得最小為，此時(shí)
（2）若AP為圓弧，則設(shè)AP=a，PQ=a，
∵PQ將△ABC分為面積相等的兩塊地
∴
∴
∴＜
故滿足題意．
分析：（1）設(shè)AP=a，AQ=b，正三角形的邊長為c，根據(jù)PQ將△ABC分為面積相等的兩塊地，可得，利用基本不等式可求PQ的最小值；
（2）若AP為圓弧，則設(shè)AP=a，PQ=a，根據(jù)PQ將△ABC分為面積相等的兩塊地，可求弧PQ的長度，比較可得答案．
點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查優(yōu)化設(shè)計(jì)，考查了基本不等式的運(yùn)用，考查扇形的弧長及面積公式．