Question

如圖，設(shè)AB，CD為⊙O的兩直徑，過B作PB垂直于AB，并與CD延長線相交于點(diǎn)P，過P作直線與⊙O分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接AE，AF結(jié)分別與CD交于G，H．
（Ⅰ）設(shè)EF中點(diǎn)為C₁，求證：O，C₁，B，P四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）求證：OG=OH．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：直線與圓,立體幾何

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出∠OC₁P=∠PBO=90°，由此證明O，P，C₁，B四點(diǎn)共圓
（2）利用對角互補(bǔ)得到四點(diǎn)共圓，利用相似得到邊長相等．

解答： 證明：（Ⅰ）∵過B作PB垂直于AB，并與CD延長線相交于點(diǎn)P，
過P作直線與⊙O分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，EF中點(diǎn)為C₁，
∴∠OC₁P=∠PBO=90°，
∴O，P，C₁，B四點(diǎn)共圓．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）∠OPC₁=∠OBC₁，
過F作FE₁∥CD交AE于E₁，交AB于D₁，
連接D₁C₁，BC₁，BF，
由D₁F∥DC，知∠OPC₁=∠D₁FC₁，
∴∠OBC₁=∠D₁FC₁．
∴B，F(xiàn)，C₁，D₁，四點(diǎn)共圓．…（6分）
∴∠FBA=∠FC₁D₁=∠FEA，由此D₁C₁∥AE，…（8分）
∵C₁是FE的中點(diǎn)，D₁是FE₁的中點(diǎn)，
∴

OG

D1E1

=

AO

AD1

=

OH

D1F

，∴OG=OH．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查線段長相等的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意四圓共圓的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．