(2011•鹽城二模)在如圖所示的多面體中,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2,四邊形ABCD是菱形.
(Ⅰ)求證:平面ADC1⊥平面BCC1B1;
(Ⅱ)求該多面體的體積.
分析:(I)利用正三棱柱的性質(zhì),可得BB1⊥AD,結(jié)合菱形ABDC的對(duì)角線AD⊥BC,可證出AD⊥平面BCC1B1,最后結(jié)合面面垂直的判定定理,可得平面ADC1⊥平面BCC1B1;
(II)由題意,易得正三棱柱ABC-A1B1C1的體積,再根據(jù)(I)中的線面垂直結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)算出四棱錐D-B1C1CB的體積,將兩體積相加即得求該多面體的體積.
解答:解:(Ⅰ)∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴BB1⊥AD,
又∵四邊形ABDC是菱形,∴AD⊥BC,
∵BB1,BC?平面BB1C1C,且BC∩BB1=B,
∴AD⊥平面BCC1B1…(5分)
∵AD?平面ADC1
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1…(7分)
(Ⅱ)∵正三角形ABC邊長(zhǎng)為2,可得S△ABC=
3
4
×22=
3
,三棱柱的高AA1=2
∴正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V1=S△ABC×AA1=2
3
…(10分)
又∵AD⊥平面BCC1B1,可得四棱錐D-B1C1CB的高在AD上且等于AD的
1
2

∴四棱錐D-B1C1CB的體積為V2=
1
3
SBCC1B1×(
1
2
AD)=
4
3
3
…(13分)
所以該多面體的體積為V=V1+V2=
10
3
3
…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題給出由正三棱柱和四棱錐拼接而成的一個(gè)多面體,叫我們證明面面垂直并且求該多面體的體積,著重考查了空間面面垂直的判定和組合幾何體的體積計(jì)算等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•鹽城二模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為ρ=1與ρ=2cos(θ+
π3
),它們相交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•鹽城二模)已知a,b,c是非零實(shí)數(shù),則“a,b,c成等比數(shù)列”是“b=
ac
”的
必要不充分
必要不充分
條件(從“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中選擇一個(gè)填空).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•鹽城二模)在△ABC中,角A、B、C的所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c,且a=
5
,b=3,sinC=2sinA.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求 sin(2A-
π
3
)
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•鹽城二模)已知f(x)=cosx,g(x)=sinx,記Sn=2
2n
k=1
f(
(k-1)π
2n
)
-
1
2n
2n
k=1
g(
(k-n-1)π
2n
)
,Tm=S1+S2+…+Sm,若Tm<11,則m的最大值為
5
5

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案