Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，x軸于點(diǎn)D.記滿足的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為Γ.

(1)求軌跡Γ的方程；

(2)已知直線與軌跡Γ交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn)，射線OG交軌跡Γ于點(diǎn)Q，且.

①證明：

②求△AOB的面積S(λ)的解析式，并計(jì)算S(λ)的最大值.

 

Answer 1

(1)；(2)

【解析】

試題分析：(1)由已知M是PD的中點(diǎn)，利用P點(diǎn)在圓上，可以求出M的點(diǎn)軌跡方程為；(2)點(diǎn)Q在(1)中的橢圓上，G是OQ上的分點(diǎn)，利用直線與橢圓的關(guān)系，可以找到λ與m和k的關(guān)系，并進(jìn)一步將三角形AOB的面積表示成λ的函數(shù)關(guān)系式，再求出它的最大值.

試題解析：(1)設(shè)，則點(diǎn)，且 (1)

∵

∴ (2)

將(2)代入(1)，得

∴軌跡Γ的方程為； 5分

(2)①令

由消去y

得 6分

∴，即 (3)

∴

又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

根據(jù)，得

將其代入橢圓方程，有

化簡得： (4) 9分

②由(3)(4)得

∵ (5)

在△AOB中， (6)

∴由(4)(5)(6)可得 12分

令

則(當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，即時(shí)取“＝”)

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，其最大值為1. 13分

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)軌跡，直線與橢圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，基本不等式，范圍與最值.