如圖．在棱錐D一ABC中，若AB=CB=AD=CD=5，AC=8，BD=3
2
，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點．
（I）求證：平面DAC⊥平面ABC
（II）求三棱錐F-ABC的體積．
分析：（Ⅰ）由E為等腰三角形的底邊AC的中點，可得DE⊥AC；在△BED中，利用勾股定理的逆定理可得DE⊥BE，從而證得結(jié)論．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知DE⊥平面ABC，而F點到底面ABC的距離是DE的一半，從而可計算出體積．
解答：解：（Ⅰ）∵AB=CB=AD=CD=5，AC=8，E為AC的中點，
∴DE⊥AC，BE⊥AC，DE=BE=
52-42
=3．
∵BD=3
2
，∴DE2+BE2=18=BD2，∴DE⊥BE，
∵DE⊥BE，BE∩AC=E，
∴DE⊥平面ABC，
∵DE?平面DAC，
∴平面DAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）∵F為BD的中點，
∴F到平面ABC的距離為
1
2
DE=
3
2
．
∵S△ABC=
1
2
×8×3=12．
∴VF-ABC=
1
3
×12×
3
2
=6．
點評：本題考查面面垂直、三棱錐的體積，由線線垂直得到線面垂直是解決的關(guān)鍵．利用等腰三角形的三線合一和勾股定理的逆定理等是證垂直常用的方法．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，D是AB的中點．
（1）求AC1與平面B1BCC1所成角的正切值；
（2）求證：AC1∥平面B1DC；
（3）已知E是A1B1的中點，點P為一動點，記PB1=x．點P從E出發(fā)，沿著三棱柱的棱，按照E→A1→A的路線運動到點A，求這一過程中三棱錐P-BCC1的體積表達式V（x）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•深圳一模）如圖甲，⊙O的直徑AB=2，圓上兩點C、D 在直徑AB 的兩側(cè)，使∠CAB=
π
4
，∠DAB=
π
3
．沿直徑AB 折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn) 為BC的中點，E 為AO 的中點．根據(jù)圖乙解答下列各題：
（1）求三棱錐C-BOD 的體積；
（2）求證：CB⊥DE；
（3）在BD弧上是否存在一點 G，使得FG∥平面 ACD？若存在，試確定點G 的位置；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•青島一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB中點，過A、N、D三點的平面交PC于M．
（Ⅰ）求證：PD∥平面ANC；
（Ⅱ）求證：M是PC中點；
（Ⅲ）若PD⊥底面ABCD，PA=AB，BC⊥BD，證明：平面PBC⊥平面ADMN．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖．在棱錐D一ABC中，若AB=CB=AD=CD=5，AC=8，BD=3數(shù)學公式，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點．
（I）求證：平面DAC⊥平面ABC
（II）求三棱錐F-ABC的體積．

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