Question

（2013•深圳一模）如圖甲，⊙O的直徑AB=2，圓上兩點C、D 在直徑AB 的兩側，使∠CAB=

π

4

，∠DAB=

π

3

．沿直徑AB 折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn) 為BC的中點，E 為AO 的中點．根據(jù)圖乙解答下列各題：
（1）求三棱錐C-BOD 的體積；
（2）求證：CB⊥DE；
（3）在BD弧上是否存在一點 G，使得FG∥平面 ACD？若存在，試確定點G 的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圓的性質可得CO⊥AB，利用面面垂直的性質可得CO⊥平面BOD．在計算出S△BOD=

1

2

S△AOB，利用三棱錐的體積即可得出；
（2）利用等邊三角形的性質可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性質定理即可得到DE⊥平面ABC，進而得出結論．
（3）存在，G為

BD

的中點．連接OG，OF，F(xiàn)G，通過證明平面OFG∥平面ACD，即可得到結論．

解答：（1）解：∵C為圓周上一點，且AB為直徑，∴∠C=90°，
∵∠CAB=

π

4

，∴AC=BC，
∵O為AB中點，∴CO⊥AB，
∵AB=2，∴CO=1．
∵兩個半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，
∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD．
∴CO就是點C到平面BOD的距離，
在Rt△ABD中，S△BOD=

1

2

S△ABD=

1

2

×

1

2

×1×

3

=

3

4

，
∴VC-BOD=

1

3

S△BOD•CO=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

．
（2）在△AOD中，∵∠OAD=60°，OA=OD，∴△AOD為正三角形，
又∵E為OA的中點，∴DE⊥AO，
∵兩個半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，∴DE⊥平面ABC．
∴CB⊥DE．
（3）存在，G為

BD

的中點．證明如下：
連接OG，OF，F(xiàn)G，
∴OG⊥BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BD
∴OG∥AD，
∵OG?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OG∥平面ACD．
在△ABC中，O，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，∴OF∥AC，
又OF?平面ACD，∴OF∥平面ACD，
∵OG∩OF=O，
∴平面OFG∥平面ACD，
又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD．

點評：本題主要考察空間點、線、面位置關系，考查空間想象能力、運算能力和邏輯推理能力．熟練掌握圓的性質、面面垂直的性質、三棱錐的體積計算公式、等邊三角形的性質、線面垂直的判定定理、三角形的中位線定理、面面平行的判定和性質定理是解題的關鍵．