如果函數(shù)滿足在集合上的值域仍是集合,則把函數(shù)稱為N函數(shù).
例如:就是N函數(shù).
(Ⅰ)判斷下列函數(shù):①,②,③中,哪些是N函數(shù)?(只需寫出判斷結(jié)果);
(Ⅱ)判斷函數(shù)是否為N函數(shù),并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)證明:對(duì)于任意實(shí)數(shù),函數(shù)都不是N函數(shù).
(注:“”表示不超過(guò)的最大整數(shù))
(Ⅰ);(Ⅱ)是N函數(shù);(Ⅲ)略
解析試題分析:(Ⅰ)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e6/f/1apyi4.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí),值域不是集合,例如值域中不含2。故不是N函數(shù) 。的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e6/f/1apyi4.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí),值域不是集合,例如值域中不含2。故不是N函數(shù)。當(dāng)時(shí),所以是N函數(shù)。(Ⅱ)因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/99/e/tluep.png" style="vertical-align:middle;" />”表示不超過(guò)的最大整數(shù),所以。設(shè),則,所以,解得,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fd/1/arsiv1.png" style="vertical-align:middle;" />所以在一定存在正整數(shù),即存在滿足(Ⅲ)需對(duì)實(shí)數(shù)在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行討論。若為負(fù)時(shí),函數(shù)不是N函數(shù);若函數(shù)有最大值時(shí),函數(shù)不是N函數(shù);若函數(shù)的值是正數(shù)但不能取到所有正數(shù)時(shí),函數(shù)不是N函數(shù)。
試題解析:解:(Ⅰ)只有是N函數(shù). 3分
(Ⅱ)函數(shù)是N函數(shù).
證明如下:
顯然,,. 4分
不妨設(shè),
由可得,
即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/82/1/osbwy.png" style="vertical-align:middle;" />,恒有成立,
所以一定存在,滿足,
所以設(shè),總存在滿足,
所以函數(shù)是N函數(shù). 8分
(Ⅲ)(1)當(dāng)時(shí),有,
所以函數(shù)都不是N函數(shù). 9分
(2)當(dāng)時(shí),① 若,有,
所以函數(shù)都不是N函數(shù). 10分
② 若,由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得,
所以,都有
所以函數(shù)都不是N函數(shù). 11分
③ 若,令,則,
所以一定存在正整數(shù)使得 ,
所以,使得,
所以.
又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以;
當(dāng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a>1),若函數(shù)y=g(x)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象.
(1)寫出函數(shù)g(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[0,1)時(shí)總有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范圍.
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已知函數(shù) .
(1)判斷函數(shù)在的單調(diào)性并用定義證明;
(2)令,求在區(qū)間的最大值的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間與上各有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知向量,,其中.函數(shù)在區(qū)間上有最大值為4,設(shè).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)().
(1)若的定義域和值域均是,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若對(duì)任意的,,總有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,一種醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體.開(kāi)始輸液時(shí),滴管內(nèi)勻速滴下球狀液體,其中球狀液體的半徑毫米,滴管內(nèi)液體忽略不計(jì).
(1)如果瓶?jī)?nèi)的藥液恰好分鐘滴完,問(wèn)每分鐘應(yīng)滴下多少滴?
(2)在條件(1)下,設(shè)輸液開(kāi)始后(單位:分鐘),瓶?jī)?nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為(單位:厘米),已知當(dāng)時(shí),.試將表示為的函數(shù).(注:)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)滿足,且。
(1)求的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),方程有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),,求的最大值.
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