Question

【題目】已知，為實數(shù)，函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù).

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求實數(shù)的值；

（3）設(shè)，問是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上有最小值-2？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）利用函數(shù)是偶函數(shù)，求函數(shù)的解析式；

（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求實數(shù)b的值；

（3）分類討論，求出函數(shù)的最小值，利用在區(qū)間上有最小值為﹣2，得出結(jié)論．

（1）∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴（x+1）2+a（x+1）+1＝（﹣x+1）2+a（﹣x+1）+1，∴4x+2ax＝0，∴a＝﹣2，

∴＝（x﹣1）2；

（2）＝﹣bx4+（5b﹣1）x2+2﹣b，

令t＝x2，u（t）＝﹣bt2+（5b﹣1）t﹣（b﹣2），

在區(qū)間上，t＝x2是減函數(shù)，且t∈，由是減函數(shù)，可知為增函數(shù)；

在區(qū)間上，t＝x2是減函數(shù)，且t∈（0，4），由是增函數(shù)，可知為減函數(shù)，

∴由在（0，4）上是減函數(shù)，（4，+∞）上是增函數(shù)，可得二次函數(shù)開口向上，b＜0，且﹣＝4，

∴；

（3），x∈[0，2]．

當(dāng)q＜0，ymin＝h（0）＝1+2q＝﹣2，q＝﹣；

當(dāng)0≤q≤2，ymin＝h（q）＝﹣q2+2q+1＝﹣2，∴q＝3或﹣1，舍去；

當(dāng)q＞2，ymin＝h（2）＝﹣2q+5＝﹣2，q＝，

綜上所述：或.