Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，1為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求函數(shù)在上的最小值.

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析: （1）由題，且，列式解得， ，再求導(dǎo)求函數(shù)的最小值即可.

（2）由，得，易知， ； 時(shí)， ；于是，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，分和兩種情況討論可得的取值范圍是.

試題解析：（1），∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴，

∵1是函數(shù)的零點(diǎn)，得，

由，解得， ，

∴， ，

令， ，得；

令得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的最小值為.

（2）當(dāng)時(shí)， ，則，

由得，該方程的判別式，

因?yàn)?/span>，所以由，得，易知， ；

時(shí)， ；于是，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

若，則在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，

當(dāng)時(shí)， ，又由函數(shù)與軸在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以，且，

，解得，

因?yàn)?/span>，

所以，

令，知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，

所以，即，解得，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

點(diǎn)晴：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理. 恒成立問(wèn)題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題的問(wèn)題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理．也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.