Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁＝1,2^n－1a_n＝a_n－1(n∈N^*，n≥2)．
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始及以后各項(xiàng)均小于？

Answer 1

（1）a_n＝()
（2）第5項(xiàng)

解：(1)n≥2時(shí)，＝()^n－1，
故a_n＝·…···a₁
＝()^n－1·()^n－2·…·()²·()¹
＝()^{1＋2＋…＋(n－1)}
＝()，
當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝()⁰＝1，即n＝1時(shí)也成立．
∴a_n＝().
(2)∵(n－1)n在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴()在[1，＋∞)上單調(diào)遞減．
當(dāng)n≥5時(shí)，≥10，a_n＝()≤.
∴從第5項(xiàng)開(kāi)始及以后各項(xiàng)均小于.