Question

把數列{

1

n2+n

}依次按第一個括號一個數，第二個括號兩個數，第三個括號三個數，第四個括號四個數，…按此規(guī)律下去，即（

1

2

），（

1

6

，

1

12

），（

1

20

，

1

30

，

1

42

），（

1

56

，

1

72

，

1

90

，

1

110

），則第6個括號內各數字之和為

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：規(guī)律型,等差數列與等比數列

分析：利用裂項相消法，求出前面6個括號的數的總和，及前5個括號數的總和，相減可得答案．

解答： 解：∵

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
故數列{

1

n2+n

}的前n項和S_n=

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

n2+n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
由于第一個括號一個數，第二個括號兩個數，第三個括號三個數，第四個括號四個數，…
故前6個括號的數共有1+2+3+4+5+6=21個，
前面6個括號的數的總和為：S₂₁=

21

22

，
故前5個括號的數共有1+2+3+4+5=15個，
前面5個括號的數的總和為：S₁₅=

15

16

，
故第6個括號內各數字之和為

21

22

-

15

16

=

3

176

，
故答案為：

3

176

點評：本題考查的知識點是歸納推理，數列求和，其中分析出數列{

1

n2+n

}的前n項和S_n=

n

n+1

是解答的關鍵．