如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，G為△BC1D的重心，

(1)求證：A1、G、C三點共線；
(2)求證：A1C⊥平面BC1D；
(3)求點C到平面BC1D的距離．
（1）見解析   （2）見解析   （3）a.
解：(1)證明：＝＋＋＝＋＋，
可以證明：＝(＋＋)＝，∴∥，即A1、G、C三點共線．
(2)證明：設＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵＝a＋b＋c，＝c－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，
∴⊥，即CA1⊥BC1，
同理可證：CA1⊥BD，
因此A1C⊥平面BC1D.
(3)∵＝a＋b＋c，
∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，
即||＝a，因此||＝a.
即C到平面BC1D的距離為a.
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13
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3

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