【題目】四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E為BB1延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),D1E⊥平面D1AC.

(1)求二面角E-AC-D1的大小;

(2)在D1E上是否存在一點(diǎn)P,使A1P∥平面EAC?若存在,求D1P∶PE的值;不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)見解析

【解析】

(1)設(shè)AC與BD交于O,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,用坐標(biāo)分別表示有關(guān)向量,分別求平面EAC和平面D1AC的法向量,利用數(shù)量積公式,可求二面角的平面角或期補(bǔ)角。

(2)設(shè)在D1E上存在一點(diǎn)P,使A1P∥平面EAC,則有=λ(),,而,結(jié)合(1),有與平面EAC的法向量垂直,建立方程,可求λ,問(wèn)題得解。

(1)設(shè)AC與BD交于O,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,設(shè)AB=2,

則A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,2),

設(shè)E(0,1,2+h),則=(0,2,h),=(2,0,0),=(,1,-2),

∵D1E⊥平面D1AC,∴D1E⊥AC,D1E⊥D1A.

∴2-2h=0,∴h=1,即E(0,1,3).

=(0,2,1),=(-,1,3).

設(shè)平面EAC的法向量為m=(x,y,z),

則由令z=-1,

∴平面EAC的一個(gè)法向量為m=(0,3,-1).

又平面D1AC的法向量為=(0,2,1),

∴cos<m,>=,

∴二面角E-AC-D1的大小為45°.

(2)設(shè)=λ(),

,

=(-,-1,0)+.

∵A1P∥面EAC,∴⊥m.

∴-×0+3×+(-1)×=0,

∴λ=.

∴存在點(diǎn)P使A1P∥平面EAC,此時(shí)D1P∶PE=3∶2.

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