Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)與的公切線(xiàn)方程：

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用求導(dǎo)，分別求出兩條曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程.由題知兩條切線(xiàn)重合，則可列出方程組，解得兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出切線(xiàn)方程；

（2）求的導(dǎo)函數(shù)，其零點(diǎn)即為極值點(diǎn)，，則.根據(jù)，可設(shè)，解得，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出的值域，也即是的范圍.由構(gòu)造函數(shù)，求出其值域，也即是實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：（1）時(shí)，，

設(shè)曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為，則切線(xiàn)方程為，

設(shè)曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為，則切線(xiàn)方程為

由兩條切線(xiàn)重合得 ，則 ，

所以，公切線(xiàn)方程為；

（2），

，設(shè)其零點(diǎn)為，，

，，

令，可得，則

令，，

又令，，則單調(diào)遞減，

，，單調(diào)遞減，

，易知， ，

令，，

則在上遞增，