【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且4Sn=an2+2an﹣3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)已知bn=2n , 求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值.

【答案】
(1)解:當(dāng)n=1時, ,解出a1=3,

又4Sn=an2+2an﹣3①

當(dāng)n≥2時4sn1=an12+2an1﹣3②

①﹣②4an=an2﹣an12+2(an﹣an1),即an2﹣an12﹣2(an+an1)=0,

∴(an+an1)(an﹣an1﹣2)=0,

∵an+an1>0∴an﹣an1=2(n≥2),

∴數(shù)列{an}是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列,∴an=3+2(n﹣1)=2n+1


(2)解:Tn=3×21+5×22+…+(2n+1)2n

又2Tn=3×22+5×23+(2n﹣1)2n+(2n+1)2n+1

④﹣③Tn=﹣3×21﹣2(22+23++2n)+(2n+1)2n+1﹣6+8﹣22n1+(2n+1)2n+1=(2n﹣1)2n+2


【解析】(1)由題意知 ,解得a1=3,由此能夠推出數(shù)列{an}是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以an=3+2(n﹣1)=2n+1.(2)由題意知Tn=3×21+5×22+…+(2n+1)2n , 2Tn=3×22+5×23+(2n﹣1)2n+(2n+1)2n+1 , 二者相減可得到Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

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