已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且對(duì)任意x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3.

(1)試證明函數(shù)y=f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù);

(2)試證明函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù);

(3)試求函數(shù)y=f(x)在[m,n](m、n∈Z,且mn<0)上的值域.

剖析:(1)可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行論證,考慮證明過(guò)程中如何利用題設(shè)條件.

    (2)可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明,應(yīng)由條件先得到f(0)=0后,再利用條件f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中x1、x2的任意性,可使結(jié)論得證.

    (3)由(1)的結(jié)論可知f(m)、f(n)分別是函數(shù)y=f(x)在[m、n]上的最大值與最小值,故求出f(m)與f(n)就可得所求值域.

(1)證明:任取x1、x2∈R,且x1<x2,f(x2)=f[x1+(x2-x1)],

    于是由題設(shè)條件f(x+x′)=f(x)+f(x′)可知f(x2)=f(x1)+f(x2-x1).

    ∵x2>x1,

    ∴x2-x1>0.

    ∴f(x2-x1)<0.

    ∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1).

    故函數(shù)y=f(x)是單調(diào)減函數(shù).

(2)證明:∵對(duì)任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),

    ∴若令x=x′=0,則f(0)=f(0)+f(0).

    ∴f(0)=0.

    再令x′=-x,

    則可得f(0)=f(x)+f(-x).

    ∵f(0)=0,

    ∴f(-x)=-f(x).

    故y=f(x)是奇函數(shù).

(3)解:由函數(shù)y=f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù),

    ∴y=f(x)在[m,n]上也為單調(diào)減函數(shù).

    ∴y=f(x)在[m,n]上的最大值為f(m),最小值為f(n).

    ∴f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)=…=nf(1).

    同理,f(m)=mf(1).

    ∵f(3)=-3,

    ∴f(3)=3f(1)=-3.

    ∴f(1)=-1.

    ∴f(m)=-m,f(n)=-n.

    因此,函數(shù)y=f(x)在[m,n]上的值域?yàn)椋?n,-m].

講評(píng):(1)滿(mǎn)足題設(shè)條件f(x+x′)=f(x)+f(x′)的函數(shù),只要其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的,它就為奇函數(shù).

    (2)若將題設(shè)條件中的x>0,均有f(x)<0改成均有f(x)>0,則函數(shù)f(x)就是R上的單調(diào)增函數(shù).

    (3)若題設(shè)條件中的m、n∈Z去掉,則我們就無(wú)法求出f(m)與f(n)的值,故m、n∈Z不可少.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x+
1
2
)
為奇函數(shù),設(shè)g(x)=f(x)+1,則g(
1
2011
)+g(
2
2011
)+g(
3
2011
)+g(
4
2011
)+…+g(
2010
2011
)
=( 。
A、1005B、2010
C、2011D、4020

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)=
lnx
x

(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=
1
e
處的切線方程;
(2)求y=f(x)的最大值;
(3)比較20092010與20102009的大小,并說(shuō)明為什么?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)=
lnx
x

(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=
1
e
處的切線方程;
(2)求y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=
f(x)
ex
(x∈R)
滿(mǎn)足f′(x)>f(x),則f(1)與ef(0)的大小關(guān)系為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出如下命題:
命題p:已知函數(shù)y=f(x)=
1-x3
,則|f(a)|<2(其中f(a)表示函數(shù)y=f(x)在x=a時(shí)的函數(shù)值);
命題q:集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0},且A∩B=∅;
求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使命題p,q中有且只有一個(gè)為真命題.

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