Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=0且

1

1-an+1

-

1

1-an

=1．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

1- an+1

n

（n∈N₊），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和．

解答： 解：（1）∵

1

1-an+1

-

1

1-an

=1．
∴{

1

1-an

}是公差為1的等差數(shù)列，
又

1

1-a1

=1，
則

1

1-an

=1+n-1=n，
故a_n=1-

1

n

．
（2）由（1）得b_n=

1- an+1

n

=

n+1 - n

n+1 • n

=

1

n

-

1

n+1

，
則S_n=b₁+b₂+…+b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，利用構(gòu)造法以及裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．