Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

）+2cos²x-1；
（1）求f（x）在[-

π

2

，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f（A）=

1

2

，b，a，c成等差數(shù)列，且

AB

•

AC

=9，求a的值．

Answer 1

考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：第（1）問應(yīng)先將f（x）解析式化簡為f（x）=Asin（ωx+θ）+C的形式，然后利用換元法求f（x）在[-

π

2

，π]上的單調(diào)區(qū)間；
第（2）問“f（A）=

1

2

，b，a，c成等差數(shù)列，且

AB

•

AC

=9”三個條件化簡后看出，實際上是“兩邊夾一角”類型，應(yīng)采用余弦定理求a的值．

解答： 解：f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)，
（1）要求原函數(shù)的增區(qū)間，只需-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．化簡得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
又因為x∈[-

π

2

，π]，取k=0，1，得原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

，

π

6

]和[

2π

3

，π]．
（2）由f(A)=sin(2A+

π

6

)=

1

2

，（0＜A＜π）
解得2A+

π

6

=

π

6

或

5π

6

，所以A=

1

3

π或0（舍去），所以A=

π

3

，cosA=

1

2

，
又b，a，c成等差數(shù)列，所以b+c=2a，
由

AB

•

AC

=9得bccosA=9，即

1

2

bc=9，所以bc=18，
所以a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4a²-54，
所以a²=18，得a=3

2

．

點評：對三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的考查，一般先將所給的函數(shù)式化為f（x）=Asin（ωx+θ）+C的形式，然后再研究單調(diào)性、最值、對稱性等；
正余弦定理常與平面向量、數(shù)列、三角變換等知識相結(jié)合，一般先根據(jù)相關(guān)概念將條件轉(zhuǎn)換為“邊角”條件再進(jìn)行處理，考查了學(xué)生靈活運用知識的能力．