Question

設(shè)a＞0，兩個函數(shù)f（x）=e^ax，g（x）=blnx的圖象關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)a取何值時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有且只有一個零點(diǎn)；
（3）當(dāng)a=1時，在（

1

2

，+∞）上解不等式f（1-x）+g（x）＜x²．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)P（x，e^ax）是函數(shù)f（x）=e^ax圖象上任一點(diǎn)，則它關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)P′（e^ax，x）在函數(shù)g（x）=blnx的圖象上，代入解析式即可求得關(guān)系式；
（2）由函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有且只有一個零點(diǎn)，知兩個函數(shù)的圖象有且只有一個交點(diǎn)，由兩函數(shù)的對稱性知兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)就是函數(shù)f（x）=e^ax的圖象與直線y=x的切點(diǎn)．設(shè)切點(diǎn)為
A（x0，eax0），易知x0=eax0，且f′（x₀）=1，由此可求得ax₀=1，x0=eax0=e，進(jìn)而得到a；
（3）當(dāng)a=1時，設(shè)r（x）=f（1-x）+g（x）-x²=e^1-x+lnx-x²，利用導(dǎo)數(shù)可判斷r（x）的單調(diào)性，結(jié)合r（1）=0可解得不等式；

解答： 解：（1）設(shè)P（x，e^ax）是函數(shù)f（x）=e^ax圖象上任一點(diǎn)，則它關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)P′（e^ax，x）在函數(shù)g（x）=blnx的圖象上，
∴x=blne^ax=abx，
∴ab=1．
（2）當(dāng)a＞0時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有且只有一個零點(diǎn)，則兩個函數(shù)的圖象有且只有一個交點(diǎn)，
∵兩個函數(shù)關(guān)于直線y=x對稱，
∴兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)就是函數(shù)f（x）=e^ax的圖象與直線y=x的切點(diǎn)．
設(shè)切點(diǎn)為A（x0，eax0），x0=eax0，
f′（x）=ae^ax，∴aeax0=1，
∴ax₀=1，x0=eax0=e，
∴當(dāng)a=

1

x0

=

1

e

時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有且只有一個零點(diǎn)x=e；
（3）當(dāng)a=1時，設(shè)r（x）=f（1-x）+g（x）-x²=e^1-x+lnx-x²，則
r′（x）=-e^1-x+

1

x

-2x，
當(dāng)x∈(

1

2

，1)時，

1

x

-2x＜2-1=1，-e^1-x＜-1，r′＜0；
當(dāng)x∈[1，+∞）時，

1

x

-2x≤1-2=-1，-e^1-x＜0，r′＜0．
∴r（x）在（

1

2

，+∞）上是減函數(shù)．
又r（1）=0，
∴不等式f（1-x）+g（x）＜x²解集是（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)、不等式，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．