Question

由平面α外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線(xiàn)段，斜足分別為A、B、C，O為△ABC的外心，求證：OP⊥α.

 

Answer 1

見(jiàn)解析

【解析】學(xué)生錯(cuò)【解析】
證明：因?yàn)?/span>O為△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因?yàn)?/span>PA＝PB＝PC，PO公用，所以△POA，△POB，△POC都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以OP⊥α.

審題引導(dǎo)：要記OP⊥α，需記OP垂直于α內(nèi)兩條相交的直線(xiàn)，由圖形易知，可考慮證OP垂直于△ABC的兩條邊，注意到圖中的等腰三角形PBC、OBC，不準(zhǔn)找到證題途徑．

規(guī)范解答：證明：取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)PD、OD，

∵PB＝PC，OB＝OC，∴BC⊥PD，BC⊥OD，(5分)

又PD平面POD，OD?平面POD，且PD∩OD＝D，∴BC⊥平面POD.(8分)

∵PO平面POD，∴BC⊥PO.

同理AB⊥PO.(12分)

又AB、BC是α內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，∴PO⊥α.(14分)

錯(cuò)解分析：上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，是對(duì)的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄�？這里缺少必要的證明．