Question

【題目】已知拋物線的焦點為.

(1)過點的直線與拋物線相交于兩點，若，求直線的方程；

(2)點是拋物線上的兩點，點的縱坐標分別為1，2，分別過點作傾斜角互補的兩條直線交拋物線于另外不同兩點，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）設直線的方程為，將直線與拋物線聯(lián)立消去，根據韋達定理可得，，再由拋物線定義可得即可求解.

（2）求出點的坐標為，點的坐標為，分類討論①當兩條直線的傾斜角都為時，②當兩條直線的傾斜角都不為時，設直線的方程與設直線的方程，分別將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理，整理化簡即可求出直線的斜率.

（1）設直線的方程為，點的坐標分別為，，

聯(lián)立方程，消去整理為，則，，

所以，

由拋物線定義可得，，所以，

解得：，

故直線的方程為，即.

（2）由題意知，點的坐標為，點的坐標為，

①當兩條直線的傾斜角都為時，點的坐標為，點的坐標為

此時直線的斜率為，

②當兩條直線的傾斜角都不為時，設點的坐標為，點的坐標為，

此時直線的斜率為，

設直線的方程為，

聯(lián)立方程消去整理為，則，得，

設直線的方程為，

聯(lián)立方程消去整理為，

則，得，

所以，可得，

故直線的斜率為，

綜上，可得直線的斜率為.