某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是3元,根據(jù)市場調查,預計每件產(chǎn)品的出廠價為x元(7≤x≤10)時,一年的產(chǎn)量為(11-x)2萬件.但為了保護環(huán)境,用于污染治理的費用與產(chǎn)量成正比,比例系數(shù)為常數(shù)a(1≤a≤3).若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售.
(1)求該企業(yè)一年的利潤L(x)與出廠價x的函數(shù)關系式;
(2)當每件產(chǎn)品的出廠價定為多少元時,企業(yè)一年的利潤最大,并求最大利潤.
【答案】
分析:(1)利潤函數(shù)L(x)=一件產(chǎn)品的利潤×一年的產(chǎn)量-污染治理費用,代入整理即可;
(2)對利潤函數(shù)求導,得L′(x),令L′(x)=0,解得x的值,由a的取值討論L(x)在定義域上的增減性,從而得L(x)的最大值,即年利潤最大.
解答:解:(1)依題意,利潤函數(shù)L(x)=一件產(chǎn)品的利潤×一年的產(chǎn)量-污染治理費用,
代入數(shù)據(jù)得:
利潤函數(shù)L(x)=(x-3)(11-x)
2-a(11-x)
2=(x-3-a)(11-x)
2,x∈[7,10].
(2)對利潤函數(shù)求導,得L′(x)=(11-x)
2-2(x-3-a)(11-x)=(11-x)(11-x-2x+6+2a)
=(11-x)(17+2a-3x);
由L′(x)=0,得x=11(舍去)或x=
;
因為1≤a≤3,所以
≤
≤
;
所以,①當
≤
≤7,即1≤a≤2時,L′(x)在[7,10]上恒為負,則L(x)在[7,10]上為減函數(shù),
所以[L(x)]max=L(7)=16(4-a)
②當7<
≤
,即2<a≤3時,L′(x)在(7,
)上為正,L(x)是增函數(shù);L′(x)在(
,10]上為負,L(x)是減函數(shù),所以[L(x)]max=L(
)=
(8-a)
3.
即當1≤a≤2時,則每件產(chǎn)品出廠價為7元時,年利潤最大,為16(4-a)萬元.
當2<a≤3時,則每件產(chǎn)品出廠價為
元時,年利潤最大,為
(8-a)
3萬元.
點評:本題考查了利潤函數(shù)模型的應用,也考查了用導數(shù)法求三次函數(shù)在其定義域上的最值問題,含有參數(shù)的不等式解集問題等,屬于較難的題目.