Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是3元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)計(jì)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為x元（7≤x≤10）時(shí)，一年的產(chǎn)量為（11-x）²萬(wàn)件．但為了保護(hù)環(huán)境，用于污染治理的費(fèi)用與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為常數(shù)a（1≤a≤3）．若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷(xiāo)售．
（1）求該企業(yè)一年的利潤(rùn)L（x）與出廠價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)定為多少元時(shí)，企業(yè)一年的利潤(rùn)最大，并求最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析：（1）利潤(rùn)函數(shù)L（x）=一件產(chǎn)品的利潤(rùn)×一年的產(chǎn)量-污染治理費(fèi)用，代入整理即可；
（2）對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求導(dǎo)，得L′（x），令L′（x）=0，解得x的值，由a的取值討論L（x）在定義域上的增減性，從而得L（x）的最大值，即年利潤(rùn)最大．

解答：解：（1）依題意，利潤(rùn)函數(shù)L（x）=一件產(chǎn)品的利潤(rùn)×一年的產(chǎn)量-污染治理費(fèi)用，
代入數(shù)據(jù)得：
利潤(rùn)函數(shù)L（x）=（x-3）（11-x）²-a（11-x）²=（x-3-a）（11-x）²，x∈[7，10]．
（2）對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求導(dǎo)，得L′（x）=（11-x）²-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x）（17+2a-3x）；
由L′（x）=0，得x=11（舍去）或x=

17+2a

3

；
因?yàn)?≤a≤3，所以

19

3

≤

17+2a

3

≤

23

3

；
所以，①當(dāng)

19

3

≤

17+2a

3

≤7，即1≤a≤2時(shí)，L′（x）在[7，10]上恒為負(fù)，則L（x）在[7，10]上為減函數(shù)，
所以[L（x）]max=L（7）=16（4-a）
②當(dāng)7＜

17+2a

3

≤

23

3

，即2＜a≤3時(shí)，L′（x）在（7，

17+2a

3

）上為正，L（x）是增函數(shù)；L′（x）在（

17+2a

3

，10]上為負(fù)，L（x）是減函數(shù)，所以[L（x）]max=L（

17+2a

3

）=

4

27

（8-a）³．
即當(dāng)1≤a≤2時(shí)，則每件產(chǎn)品出廠價(jià)為7元時(shí)，年利潤(rùn)最大，為16（4-a）萬(wàn)元．
當(dāng)2＜a≤3時(shí)，則每件產(chǎn)品出廠價(jià)為

17+2a

3

元時(shí)，年利潤(rùn)最大，為

4

27

（8-a）³萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，也考查了用導(dǎo)數(shù)法求三次函數(shù)在其定義域上的最值問(wèn)題，含有參數(shù)的不等式解集問(wèn)題等，屬于較難的題目．