Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若存在兩個極值點，求證：無論實數取什么值都有.

Answer 1

【答案】（1）當時，在區(qū)間上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增;

（2）見解析.

【解析】試題分析: （1）先求導數，研究導函數在定義域上零點情況，本題實質研究在上零點情況：當方程無根時，函數單調遞增；當方程有兩個相等實根時，函數單調遞增；當方程有兩個不等實根時，比較兩根與定義區(qū)間之間關系，再確定單調區(qū)間，（2）先由（1）知，且兩個極值點滿足.再代入化簡得,利用導數研究單調性，最后根據單調性證明不等式.

試題解析:（1）函數的定義域為.

，記，判別式.

①當即時，恒成立，，所以在區(qū)間上單調遞增.

②當或時，方程有兩個不同的實數根，記，，顯然

（ⅰ）若，圖象的對稱軸，.

兩根在區(qū)間上，可知當時函數單調遞增，，所以，所以在區(qū)間上遞增.

（ⅱ）若，則圖象的對稱軸，.，所以，當時，，所以，所以在上單調遞減.當或時，，所以，所以在上單調遞增.

綜上，當時，在區(qū)間上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由（1）知當時，沒有極值點，當時，有兩個極值點，且.

，

∴又，

.記，，則，所以在時單調遞增，，所以，所以.