Question

已知偶函數(shù)f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（2a+1）=f（a），求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)冪函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性與指數(shù)的關(guān)系，得到m²-2m-3＜0，結(jié)合m∈Z，易函數(shù)f（x）為偶函數(shù)即m²-2m-3為偶數(shù)，我們易求出對應(yīng)的m值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由已知中函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，我們可將f（2a+1）=f（a），轉(zhuǎn)化為|2a+1|=|a|，根據(jù)絕對值的定義，解絕對值方程，即可得到答案．

解答：解：（1）由m²-2m-3＜0得-1＜m＜3又m∈Z
∴m=0或1或2而m²-2m-3為偶數(shù)
∴m²-2m-3=-4，∴f（x）=x^-4
（2）∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，若f（2a+1）=f（a），
則|2a+1|=|a|，
即2a+1=a或2a+1=-a
∴a=-1或a=-

1

3

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點評：本題考查的知識點是冪函數(shù)的性質(zhì)，絕對值方程的解法，偶函數(shù)的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握冪函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，定義域與指數(shù)的關(guān)系，（2）的關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)，將抽象方程，轉(zhuǎn)化為絕對值方程．