【題目】已知向量 =(sinx,﹣1),向量 =( cosx,﹣ ),函數(shù)f(x)=( + ) .
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,A為銳角,a=2 ,c=4,且f(A)恰是f(x)在[0, ]上的最大值,求A和b.
【答案】
(1)解:∵向量 =(sinx,﹣1),向量 =( cosx,﹣ ),
∴f(x)=( + ) =sin2x+1+ sinxcosx+ = +1+ sin2x+ = sin2x﹣ cos2x+2=sin(2x﹣ )+2,
∵ω=2,
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T= =π
(2)解:由(1)知:f(x)=sin(2x﹣ )+2,
∵x∈[0, ],
∴﹣ ≤2x﹣ ≤ ,
∴當(dāng)2x﹣ = 時,f(x)取得最大值3,此時x= ,
∴由f(A)=3得:A= ,
由余弦定理,得a2=b2+c2﹣2bccosA,
∴12=b2+16﹣4b,即(b﹣2)2=0,
∴b=2.
【解析】(1)由兩向量的坐標(biāo),利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)法則列出f(x)解析式,利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡,整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),找出ω的值,代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根據(jù)x的范圍,求出這個角的范圍,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f(x)的最大值,以及此時x的值,由f(A)為最大值求出A的度數(shù),利用余弦定理求出b的值即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關(guān)知識,掌握兩角和與差的正弦公式:,以及對余弦定理的定義的理解,了解余弦定理:;;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx﹣x+1(a∈R).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對任意x∈(0,+∞),都有f(x)≤0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)證明 (其中n∈N* , e為自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由于研究性學(xué)習(xí)的需要,中學(xué)生李華持續(xù)收集了手機(jī)“微信運(yùn)動”團(tuán)隊(duì)中特定20名成員每天行走的步數(shù),其中某一天的數(shù)據(jù)記錄如下: 5860 6520 7326 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860
8753 9450 9860 7290 7850
對這20個數(shù)據(jù)按組距1000進(jìn)行分組,并統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
步數(shù)分組統(tǒng)計(jì)表(設(shè)步數(shù)為x)
組別 | 步數(shù)分組 | 頻數(shù) |
A | 5500≤x<6500 | 2 |
B | 6500≤x<7500 | 10 |
C | 7500≤x<8500 | m |
D | 8500≤x<9500 | 2 |
E | 9500≤x<10500 | n |
(Ⅰ)寫出m,n的值,若該“微信運(yùn)動”團(tuán)隊(duì)共有120人,請估計(jì)該團(tuán)隊(duì)中一天行走步數(shù)不少于7500步的人數(shù);
(Ⅱ)記C組步數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為v1 , ,E組步數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為v2 , ,試分別比較v1與v2 , 與 的大。唬ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論)
(Ⅲ)從上述A,E兩個組別的步數(shù)數(shù)據(jù)中任取2個數(shù)據(jù),求這2個數(shù)據(jù)步數(shù)差的絕對值大于3000步的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)P為曲線C1上動點(diǎn),Q為曲線C2上動點(diǎn),則稱|PQ|的最小值為曲線C1 , C2之間的距離,記作d(C1 , C2).若C1:x2+y2=2,C2:(x﹣3)2+(y﹣3)2=2,則d(C1 , C2)=;若C3:ex﹣2y=0,C4:lnx+ln2=y,則d(C3 , C4)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,半徑為5cm的圓形紙板內(nèi)有一個相同圓心的半徑為1cm的小圓,現(xiàn)將半徑為1cm的一枚硬幣拋到此紙板上,使整塊硬幣完全隨機(jī)落在紙板內(nèi),則硬幣與小圓無公共點(diǎn)的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合.直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ= sin( ).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C相交于M、N兩點(diǎn),求M、N兩點(diǎn)間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}滿足a1=1,且a1 , a2 , a5成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=(﹣1)n (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x不等式xlnx﹣x3+x2≤aex恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[e,+∞)
B.[0,+∞)
C.
D.[1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若函數(shù)g(x)=f(x)﹣t有三個不同的零點(diǎn)x1 , x2 , x3 , 且x1<x2<x3 , 則﹣ + + 的取值范圍是 .
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