設(shè)無窮數(shù)列的首項(xiàng),前項(xiàng)和為),且點(diǎn)在直線上(為與無關(guān)的正實(shí)數(shù)).
(1)求證:數(shù)列)為等比數(shù)列;
(2)記數(shù)列的公比為,數(shù)列滿足,設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)若(2)中數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Tn當(dāng)時(shí)不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(1)證明見解析;(2);(3).

解析試題分析:(1)把已知條件變形為,要化為數(shù)列項(xiàng)的關(guān)系,一般方法是用,兩式相減,得,從而得前后項(xiàng)比為常數(shù),只是還要注意看看是不是有,如有則可證得為等比數(shù)列;(2)由定義可知數(shù)列是等差數(shù)列,(是數(shù)列公差),從而數(shù)列也是等差數(shù)列,其前和易得,這說明我們在求數(shù)列和時(shí),最好能確定這個(gè)數(shù)列是什么數(shù)列;(3)恒成立,即的最大值,下面我們要求的最大值,由(2) 是關(guān)于的二次函數(shù),我們只要應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)(配方法)就可求出基最大值了,但要注意是范圍是正整數(shù).
試題解析:(1)由已知,有,
當(dāng)時(shí),;         2分
當(dāng)時(shí),有,
兩式相減,得,即
綜上,,故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列;    4分
(2)由(1)知,,則
于是數(shù)列是公差的等差數(shù)列,即,        7分


=        10分
(3)不等式恒成立,即恒成立,又上遞減,則.         14分
         16分
考點(diǎn):(1)數(shù)列的前項(xiàng)和的關(guān)系,等比數(shù)列的定義;(2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)不等式恒成立與二次函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…),求證:{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).

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已知數(shù)列(常數(shù)),其前項(xiàng)和為 
(1)求數(shù)列的首項(xiàng),并判斷是否為等差數(shù)列,若是求其通項(xiàng)公式,不是,說明理由;
(2)令的前n項(xiàng)和,求證:

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已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)請(qǐng)寫出數(shù)列的前項(xiàng)和公式,并推導(dǎo)其公式;
(2)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求的和.

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已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6a8=-10.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知
a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求d,an
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+…+|an|.

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設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且對(duì)任意n∈N*,都有+…+,記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=3n+(-1)n-1λ·2an(λ為非零常數(shù),n∈N*),問是否存在整數(shù)λ,使得對(duì)任意n∈N*,都有bn+1>bn.

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設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意都有成立, (其中、、是常數(shù)).
(1)當(dāng),時(shí),求;
(2)當(dāng),時(shí),
①若,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②設(shè)數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“數(shù)列”.
如果,試問:是否存在數(shù)列為“數(shù)列”,使得對(duì)任意,都有
,且.若存在,求數(shù)列的首項(xiàng)的所
有取值構(gòu)成的集合;若不存在,說明理由.

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