在正△ABC中,E,F(xiàn),P分別是AB,AC,BC邊上的點,滿足,將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B,A1P.
(1)求證:A1E⊥平面BEP;
(2)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。

【答案】分析:(1)取BE的中點D,連接DF.說明∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角,證明二面角A1-EF-B為直二面角,證明A1E┴平面BEF,即可證明A1E⊥平面BEP;
(2)建立空間直角坐標系,求出,平面A1BP的法向量,利用,求直線A1E與平面A1BP所成角的大。
解答:解:不妨設正三角形的邊長為3.
(1)在圖1中,取BE的中點D,連接DF.
,AF=AD=2,又∠A=60°,△ADF為正三角形.
又∵AE=ED=1,
∴EF┴AD,
∴在圖2中有A1E┴EF,BE┴EF.
∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角.
∵二面角A1-EF-B為直二面角,
∴A1E┴BE
又∵BE∩EF=E,
∴即A1E┴平面BEF,即A1E┴平面BEP
(2)由(1)可知,A1E┴平面BEP,BE┴EF,建立坐標系則E(0,0,0),A1(0,0,1),(2,0,0),
F(0,,0),D(1,0,0),不難得出EF∥DP且EF=DP,DE∥EP且DE=FP.
故P點的坐標為(1,,0),

設平面A1BP的法向量=(x,y,z),



∴A1E與平面A1BP所成角的大小為
點評:本題考查用空間向量求直線與平面的夾角,考查計算能力,空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
練習冊系列答案
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在正△ABC中,E,F(xiàn),P分別是AB,AC,BC邊上的點,滿足
AE
EB
=
CF
FA
=
CP
PB
=
1
2
,將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B,A1P.
(1)求證:A1E⊥平面BEP;
(2)求直線A1E與平面A1BP所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在正△ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點,滿足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2如圖(1).將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1—EF—B成直二面角,連結A1B、A1P如圖(2).

(1)求證:A1E⊥平面BEP;

(2)求直線A1E與平面A1BP所成角的大小;

(3)求二面角B—A1P—F的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)值表示).

              (1)                             (2)

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(1)求證:A1E⊥平面BEP;
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(1)求證:A1E⊥平面BEP;
(2)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。

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