在正△ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點,滿足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2如圖(1).將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1—EF—B成直二面角,連結(jié)A1B、A1P如圖(2).

(1)求證:A1E⊥平面BEP;

(2)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。

(3)求二面角B—A1P—F的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)值表示).

              (1)                             (2)

解析:不妨設(shè)正△ABC的邊長為3.

(1)證明:在圖甲中,取BE的中點D,連結(jié)DF.

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2,而∠A=60°,

∴△ADF是正三角形.又AE=DE=1,∴EF⊥AD.

    在圖乙中,A1E⊥EF,BE⊥EF,

∴∠A1EB為二面角A1—EF—B的平面角,

    由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,

∴A1E⊥BE.

    又BE∩EF=E,∴A1E⊥平面BEF,

    即A1E⊥平面BEP.

(2)解:在圖乙中,∵A1E不垂直于A1B,

∴A1E是平面A1BP的斜線.

    又A1E⊥平面BEP,∴A1E⊥EP,

    從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理).

    設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q,且A1Q交BP于點Q,則

∠EA1Q就是A1E與平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.

    在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=60°,

∴△EBP是等邊三角形.∴BE=EP.

    又A1E⊥平面BEP,∴A1B=A1P.

∴Q為BP的中點,且EQ=.

    又A1E=1,在Rt△A1EQ中,tanEA1Q=,∴∠EA1Q=60°.

∴直線A1E與平面A1BP所成的角為60°.

(3)解:在圖丙中,過F作FM⊥A1P于M,連結(jié)QM,QF.

∵CF=CP=1,∠C=60°,∴△FCP是正三角形.

∴PF=1.

又PQ=BP=1,∴PF=PQ.                                            ①

∵A1E⊥平面BEP,EQ=EF=,∴A1F=A1Q.∴△A1FP≌△A1QP,

    從而∠A1PF=∠A1PQ.                                             

    由①②及MP為公共邊知△FMP≌△QMP,

∴∠QMP=∠FMP=90°,且MF=MQ,

    從而∠FMQ為二面角B—A1P—F的平面角,

    在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,∴A1P=.

∵MQ⊥A1P,∴MQ=,∴MF=.

在△FCQ中,F(xiàn)C=1,QC=2,∠C=60°,

由余弦定理得QF=.

    在△FMQ中,cosFMQ=.

∴二面角B—A1P—F的大小為π-arccos.


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在正△ABC中,E,F(xiàn),P分別是AB,AC,BC邊上的點,滿足
AE
EB
=
CF
FA
=
CP
PB
=
1
2
,將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B,A1P.
(1)求證:A1E⊥平面BEP;
(2)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年浙江省杭州地區(qū)七校聯(lián)考高二(上)期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

在正△ABC中,E,F(xiàn),P分別是AB,AC,BC邊上的點,滿足,將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B,A1P.
(1)求證:A1E⊥平面BEP;
(2)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年浙江省六校聯(lián)盟高三(下)回頭考數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

在正△ABC中,E,F(xiàn),P分別是AB,AC,BC邊上的點,滿足,將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B,A1P.
(1)求證:A1E⊥平面BEP;
(2)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2008年江蘇省揚州中學高考數(shù)學四模試卷(解析版) 題型:解答題

在正△ABC中,E,F(xiàn),P分別是AB,AC,BC邊上的點,滿足,將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B,A1P.
(1)求證:A1E⊥平面BEP;
(2)求直線A1E與平面A1BP所成角的大。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案