Question

已知a≠0且a∈R，函數(shù)f(0)=asinx•cosx+

2

(sinx+cosx)+

a

2

+

1

a

+2的最小值為g（a）．
（1）求函數(shù)g（a）的表達式；
（2）求函數(shù)g（a）的值域；
（3）找出所有使g(a)=g(

1

a

)成立的實數(shù)a．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的解析式知，求此函數(shù)的最值需要先用換元法轉(zhuǎn)化，將此三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個一元二次函數(shù)在某一個區(qū)間上的最值問題．然后再用配方法求出函數(shù)的最值，由于本題中函數(shù)的對稱軸不確定，屬于二次函數(shù)最值中軸動區(qū)間定的問題，故本題需要對參數(shù)a的取值范圍討論，分類求函數(shù)的最小值．
（2）研究函數(shù)在每一段上的單調(diào)性，求出每一段上的值域，將其并起來既得函數(shù)的值域，研究函數(shù)單調(diào)性一般選擇用導數(shù)法，此法較定義法簡捷．
（3）依據(jù)g（a）的解析式在各段上探究g(a)=g(

1

a

)成立的a的值，方法是求解方程探究

解答：解：（1）令t=sinx+cosx，則t∈[-

2

，

2

]，sinx•cosx=

t2-1

2

，令m（t）=f（x）．
則g（a）=m（t）_min．則m(t)=f(x)=asinxcosx+

2

(sinx+cosx)=

a(t2-1)

2

+

2

t+

a

2

+

1

a

+2=

a

2

t2+

2

t+

1

a

+2
由題意知a≠0，m(t)=

a

2

(t2+

2 2

a

t)+

1

a

+2=

a

2

(t+

2

a

)2+2．
1°當-

2

a

＜-

2

，即0＜a＜1時，m（t）在區(qū)間[-

2

，

2

]上單調(diào)遞增，
∴g(a)=m(-

2

)=a+

1

a

．
2°當-

2

≤-

2

a

＜0時，即a≥1時，m（t）min=m(-

2

a

)=2．
3°當0＜-

2

a

≤

2

，即a≤-1時，m(t)min=m(-

2

)=a+

1

a

4°當-

2

a

＞

2

，即-1＜a＜0時，m（t）min=m(-

2

)=a+

1

a

．
∴g(a)=

2 ，a≥1 a+ 1 a ，a＜1且a≠0

（2）當1＞a＞0時，N'（a）=(a+

1

a

)=1-

1

a2

，令N'（a）=0得a=1．
當a∈（0，1）時，N'（a）＜0，y（a）單調(diào)遞減，
則a→0時，g(a)=a+

1

a

→+∞，∴g（a）≥2
當a＜0時，由N'（a）=0有a=-1，且在（-∞，-1）上N'（a）＞0在（-1，0）上N'（a）＜0，
∴在a∈（-∞，0）上有g（a）≤g（-1）=-2，
∴g（a）值域為（-∞，-2]∪[2，+∞）
（3）若a＞0，∵a•

1

a

=1，而當a∈（0，1）時g（a）＞2，而a∈（1，+∞）時g（a）=2，
∴a＞0時有且僅有a=1時有g(a)=g(

1

a

)．
若a＜0，a•

1

a

=1，∴a＜-1，0＞

1

a

＞-1或-1＜a＜0，

1

a

＜-1或a=

1

a

=-1，g(a)=a+

1

a

，g(

1

a

)=

1

a

+

1

1 a

=a+

1

a

∴總有g（a）=g(

1

a

)．∴a＜0時有g（a）=g(

1

a

)．
綜上有：a∈（-∞，0）∪{1}時有g（a）=g(

1

a

)．

點評：本題考點是三角函數(shù)的最值，考查利用三角函數(shù)的恒等變換轉(zhuǎn)化函數(shù)求最值，本題中函數(shù)結構復雜，求解時要分類討論，分類討論是一種重要的數(shù)學思想，其要義是通過分類是不確定變成確定，以達到求解問題的目的．本題中涉及到了用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求值域，以及分類討論求解方程成立的條件．本題難度較大，應細心嚴謹?shù)倪M行探究．