Question

已知a≠0且a∈R，函數(shù)的最小值為g（a）．
（1）求函數(shù)g（a）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)g（a）的值域；
（3）找出所有使成立的實(shí)數(shù)a．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)的解析式知，求此函數(shù)的最值需要先用換元法轉(zhuǎn)化，將此三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的最值問(wèn)題．然后再用配方法求出函數(shù)的最值，由于本題中函數(shù)的對(duì)稱軸不確定，屬于二次函數(shù)最值中軸動(dòng)區(qū)間定的問(wèn)題，故本題需要對(duì)參數(shù)a的取值范圍討論，分類求函數(shù)的最小值．
（2）研究函數(shù)在每一段上的單調(diào)性，求出每一段上的值域，將其并起來(lái)既得函數(shù)的值域，研究函數(shù)單調(diào)性一般選擇用導(dǎo)數(shù)法，此法較定義法簡(jiǎn)捷．
（3）依據(jù)g（a）的解析式在各段上探究成立的a的值，方法是求解方程探究
解答：解：（1）令t=sinx+cosx，則t∈，令m（t）=f（x）．
則g（a）=m（t）_min．則=
由題意知．
1°當(dāng)，即0＜a＜1時(shí)，m（t）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴．
2°當(dāng)＜0時(shí)，即a≥1時(shí)，m（t）min=．
3°當(dāng)
4°當(dāng)，即-1＜a＜0時(shí)，m（t）min=．
∴
（2）當(dāng)1＞a＞0時(shí)，N'（a）=，令N'（a）=0得a=1．
當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，N'（a）＜0，y（a）單調(diào)遞減，
則，∴g（a）≥2
當(dāng)a＜0時(shí)，由N'（a）=0有a=-1，且在（-∞，-1）上N'（a）＞0在（-1，0）上N'（a）＜0，
∴在a∈（-∞，0）上有g(shù)（a）≤g（-1）=-2，
∴g（a）值域?yàn)椋?∞，-2]∪[2，+∞）
（3）若a＞0，∵=1，而當(dāng)a∈（0，1）時(shí)g（a）＞2，而a∈（1，+∞）時(shí)g（a）=2，
∴a＞0時(shí)有且僅有a=1時(shí)有．
若a＜0，，∴＞-1或-1＜a＜0，＜-1或a=，
∴總有g(shù)（a）=．∴a＜0時(shí)有g(shù)（a）=．
綜上有：a∈（-∞，0）∪{1}時(shí)有g(shù)（a）=．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，考查利用三角函數(shù)的恒等變換轉(zhuǎn)化函數(shù)求最值，本題中函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求解時(shí)要分類討論，分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，其要義是通過(guò)分類是不確定變成確定，以達(dá)到求解問(wèn)題的目的．本題中涉及到了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求值域，以及分類討論求解方程成立的條件．本題難度較大，應(yīng)細(xì)心嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪M(jìn)行探究．