Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面為鈍角三角形且垂直于底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若直線與底面所成的角為60°，求二面角余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，設(shè)，，由勾股定理可得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得證；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，可證得為斜線與底面所成的角，進(jìn)而得，過(guò)點(diǎn)作，所以底面，所以兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角即可.

詳解：

（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連接，設(shè)，，

依題意得，四邊形為正方形，且有，，

所以，所以，

又平面底面，平面底面，底面，

所以平面.

又平面，所以平面平面

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

因?yàn)槠矫?/span>底面，平面底面，

平面，所以底面，故為斜線在底面內(nèi)的射影，

為斜線與底面所成的角，即

由（Ⅰ）得，，所以在中，，，，

在中，，，，由余弦定理得，

所以，從而，

過(guò)點(diǎn)作，所以底面，

所以兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，，

設(shè)平面的法向量

得

取得，

設(shè)平面的法向量

得，

取得，，

所以

故所求的二面角的余弦值為.