Question

如圖，正方體的邊長為2，，分別為，的中點(diǎn)，在五棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱，分別交于，.
（1）求證：；
（2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小，并求線段的長.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）2.

試題分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，證明，利用線面平行的判定定理證明平面，再用線面平行的性質(zhì)定理證明；（2）由條件底面，證明，，
建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，先求平面的法向量，利用公式，求直線與平面所成的角，再設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以可設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求的值，最后用空間中兩點(diǎn)間的距離公式求.
（1）在正方形中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053312428309.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053313255477.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053313333429.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且平面平面，
所以.
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053312678394.png" style="vertical-align:middle;" />底面，所以，，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
因此直線與平面所成的角為，
設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以可設(shè)，
即，所以，
因?yàn)橄蛄?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053314051230.png" style="vertical-align:middle;" />是平面的法向量，所以，
即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以.