Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若把曲線各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到曲線，求曲線的方程；

（Ⅲ）設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到曲線上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,.

（Ⅱ）.

（Ⅲ） ，此時(shí) 的坐標(biāo)為.

【解析】分析：（Ⅰ）直接消參得到直角坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)公式把極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)方程.( Ⅱ)利用伸縮變換公式求曲線的方程.( Ⅲ) 設(shè)橢圓上的點(diǎn),再求d的表達(dá)式，最后利用三角函數(shù)的圖像性質(zhì)求點(diǎn)到曲線上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

詳解：（Ⅰ）由曲線：（）得（為參數(shù)）,

∴，

即為曲線的普通方程.

由曲線 ，得，

∴即為的直角坐標(biāo)方程.

（Ⅱ）依題意，設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)為，

則有， ∴ .

∵ : ，∴.

即所求曲線的方程為.

（Ⅲ）易知，橢圓與直線無(wú)公共點(diǎn)，設(shè)橢圓上的點(diǎn)，

從而點(diǎn)到直線的距離為

∴當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.